Mathematik II für Informatiker

Sommersemester 2017

Modul INFM1020

Kapitel 1: Etwas Wiederholung und die komplexen Zahlen

Mengen, Gruppen, Körper

Die Menge N

Die Menge der Natürliche Zahlen und die Addition sowie das neutrale Element 0
Schreibweise: N und (Subscript[N, 0])

n1 = 313

n2 = 4711

n1 + n2

n2 - n1

Multiplikation: Die Multiplikation von natürlichen Zahlen ergibt eine natürliche Zahl:  N x N -> N

n1 n2

Die Menge Z

Die Menge der Ganzen Zahlen mit den Opertation + und - sowie das neutrale Element 0

z1 = 42

z2 = 313

z1 + 0

z1 - z2

(Z, +) ist ein (abelsche) Gruppe

Die Menge Q

Die Menge der rationalen Zahlen mit den Opertation +, -, * und / sowie dem neutralen Element 0 der Addition und dem neutralen Element 1 der Multiplikation

q1 = 27/13

q2 = 313/4711

q1 + 0

q2 * 1

q1 + q2

q2 q1

q2 / q1

(Q, +, *) ist Körper

Die rellen Zahlen R

Die Menge der rellen Zahlen R  mit den Operationen +, -, * und / sowie den Neutralen Elementen 0 und 1

r1 = 313/4711

r2 =3 Pi/4

r3 = Sqrt[42]

r3 - r2

r3 - r2 //N

(r2 - r1) (r3 - r1)

N[(r2 - r1) (r3 - r1), 15]

(R, +, 0, *, 1) ist ein Körper

Sqrt[-1]

Die Menge der komplexen Zahlen C

C = R x iR, wobei i die imaginäre Einheit bildet mit (i^2) = -1

z1 = Sqrt[-1]

z1^2

z2 = 3I -4

z3 = Sqrt[-2] + 11

z1 + z2

z3 / z2

z3 / z2 //N

Re[z3]

Im[z3]

(C, +, 0, *, 1) ist Körper

Darstellung der komplexen Zahl (R^2) durch Betrag |z| und Winkel ϕ

Abs[z3]

konjugiert Komplex (SuperStar[z])

z3\[Conjugate]

Sqrt[z3 z3\[Conjugate]]

RootReduce[(Sqrt[(11-I (Sqrt[2])) (11+I (Sqrt[2]))])]

Arg[z3]

Arg[z3] //N

N[Arg[z2]*180/Pi]

Show[Graphics[{Arrowheads[0.05`],Arrow[{{0,0},{Re[z2],Im[z2]}}]},{Background->GrayLevel[0.85`],Background->GrayLevel[0.85`],AspectRatio->1,Axes->True,AxesLabel->{Re,Im},PlotRange->{{-5,5},{-5,5}}}],Background->RGBColor[0.84`,0.92`,1.`]]

(C, +, 0, *, 1) ist ein Körper

z4 = z2 Exp[I Pi/2]

Show[Graphics[{Arrowheads[0.05`],Arrow[{{0,0},{Re[z4],Im[z4]}}]},{Background->GrayLevel[0.85`],Background->GrayLevel[0.85`],AspectRatio->1,Axes->True,AxesLabel->{Re,Im},PlotRange->{{-5,5},{-5,5}}}],Background->RGBColor[0.84`,0.92`,1.`]]