Mathematik II für Informatiker

Sommersemester 2017

Modul INFM1020

Kapitel 2: Reelle Funktionen

Graph einer (reellen) Funktion

f1[x_] :=10 -2x^2 + 7x - x^3/3

Plot[f1[x], {x, -3, +3}]

Verknüpfung von reellen Funktionen

f[x_] := x^2

g[x_] := x-1

Addition

f[x]+g[x]

Multiplikation

f[x] g[x]

Division

f[x] / g[x]

Komposition von (reellen) Funktionen

g[f[x]]

f[g[x]]

Weiteres Beispiel

f2[x_]:= Sin[x^2]

h1[x_] := f1[f2[x]]

Plot[h1[x], {x, -5, +5}]

h2[x_] := f2[f1[x]]

Plot[h2[x], {x, -1, +1}]

Injektiv und Surjektiv

Ist f1 surjektiv? Injektiv?

Plot[f1[x], {x, -100, +100}]

surjektiv: ja, injektiv: nein

Umkehrfunktion

fi[x_] := Sqrt[x]

f[fi[x]]

fi[f[x]]

Graf der Umkehrfunktion: Spiegelung an der Winkelhalbierenden

Plot[{x^2, Sqrt[x], x }, {x, 0, +2}, PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

identische Funktion

Plot[x, {x, -3, +3}]

(Absolut-)Betrag

Plot[Abs[x], {x, -3, +3}]

Monome

Plot[{x,x^2, x^3,x^4 }, {x, -1, +1}, PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

Wurzelfunktionen

Plot[{x,Sqrt[x],(x^(1/3)),(x^(1/6)) , (x^(1/9))}, {x, 0, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Polynome

Polynom vom Grad n: (Subscript[P, n])(x) = (∑_i^n)(Subscript[a, i])(x^i)

p[x_] := 1/3 x^3 - 4x^2 + 4 x + 5

Plot[p[x], {x, -7, +7}]

Rationale Funktionen

Plot[{(4 - 2x + 1/2 x^2)/(3x^3 - 2x) }, {x, -2, +2}]

Exponentialfunktionen

Plot[{0.25^x,(1/3)^x,0.5^x,2^x,3^x, 4^x }, {x, -2, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Eine mögliche Bedeutung von e : 
Wir betrachten (1 + 1/n)^n für große n

a[n_] := (1 + 1/n)^n

a[1]

a[2]//N

a[5]//N

a[10]//N

a[100]//N

ListPlot[Table[a[n],{n,1,10}]]

Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity]

Logarithmus

Plot[{Log[x], Exp[x], x}, {x, -3, +3},PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

trigonometirsche Funktionen

Sinus und Cosinus

Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, -5, +5}, PlotLegends->"Expressions"]

Einheitskreis

ParametricPlot[{Sin[u],Cos[u]},{u,0,2Pi}]

Umkehrfunktionen

Tangens und Cotangens

Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x],x}, {x, -1, +1},AspectRatio -> 1,PlotLegends->"Expressions"]

Plot[{Tan[x], Cot[x]}, {x, -5, +5},PlotLegends->"Expressions"]

Hyperbolische Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus

Plot[{Sinh[x], Cosh[x]}, {x, -3, +3}, AspectRatio -> 1, PlotLegends->"Expressions"]

Hyperbel

ParametricPlot[{Sinh[u],Cosh[u]},{u,-2,+2}, AxesOrigin -> {0,0}]

ParametricPlot[{{Sinh[u],Cosh[u]},{Sinh[u],-Cosh[u]},{Cosh[u],Sinh[u]},{-Cosh[u],Sinh[u]},{u,u},{u,-u}},{u,-2,+2}, AxesOrigin -> {0,0},PlotLegends->"Expressions"]

Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus

Plot[{Tanh[x], Coth[x]}, {x, -4, +4}, AspectRatio -> 1, PlotLegends->"Expressions"]