Mathematik II für Informatiker

Sommersemester 2017

Modul INF1020

4: Reihen

Beispiele

Sum[i, {i, 1, 100}]

Sum[i, {i, 1, n}]

Exponential-Reihe

f[x_,n_] = x^n/n!

Sum[f[1,n], {n,0,Infinity}]

Sum[f[x,n], {n,0,Infinity}]

Leibniz-Kriterium

Leibniz-Reihe

l[n_] := (-1)^n/(2n+1)

ListPlot[Table[l[n],{n,0,15}]]

ListPlot[Table[Sum[l[i], {i,0,n}],{n,0,25}]]

Sum[l[n], {n,0,Infinity}]

Alternierende harmonische Reihe

h[n_] := (-1)^n/(n+1)

ListPlot[Table[h[n],{n,0,15}], PlotLegends->"Expressions"]

ListPlot[Table[Sum[h[i], {i,0,n}],{n,0,25}]]

Sum[h[n], {n,0,Infinity}]

weiteres Beispiel für Leibniz-Kriterium

Sum[(-1)^n/n^2, {n,1,Infinity}]

Potenzreihen

Exponentialreihe

a[n_] := 1/n!

f[x_] := Sum[a[n]x^n, {n,0,Infinity}]

f[0]

1

f[1]

f[2]

Plot[Global`f[Global`x],{Global`x,-2,+2},PlotTheme->"Detailed"]

Konvergenz der Exponentialreihe:
Konvergenzradius ist unendlich

a[n_] := (1/n!)^(1/n)

Limit[a[n], n -> Infinity]

Sinus-Reihe und Cosinus-Reihe

g[x_] := Sum[(-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!, {n,0,Infinity}]

h[x_] := Sum[(-1)^n x^(2n) / (2n)!, {n,0,Infinity}]

Plot[{Global`g[Global`x],Global`h[Global`x]},{Global`x,-6,+6},PlotTheme->"Detailed"]

die Potenzreihe und Näherung durch x^1

Plot[{g[x], x}, {x, -1, +1}, PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

komplexe Potenzreihen

f[x_] := Sum[x^n / n!, {n,0,Infinity}]

f[I Pi/2]

Plot[{Re[f[I x]], Im[f[I x]]}, {x, -2, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Einheitskreis in der Darstellung e^i phi

ParametricPlot[{Re[Exp[I u]],Im[Exp[I u]]},{u,0,2Pi}]