Mathematik II für Informatiker

Sommersemester 2017

Modul INF1020

5: Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte

x[n_] := Pi (n^2 - 3n + 4)/(13 - 3n + 2n^2)

f[x_] := Cos[x]

ListPlot[Table[x[n],{n,0,50}]]

ListPlot[Table[f[x[n]] , {n, 0, 50}]]

Limit[f[x[n]], n -> Infinity]

Verhalten für x -> unendlich

x[n_] := n

g[x_] := 1/x

ListPlot[Table[g[x[n]] , {n, 1, 50}], PlotLegends->"Expressions"]

Limit[g[x[n]], n -> +Infinity]

h[x_] = 1/x^2

Plot[h[x], {x, -2, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Stetigkeit

Beispiele für stetige Funktionen

Plot[{x^2, Abs[x], Cos[x] }, {x, -1.5, +1.5}, PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

Beispiele unstetiger Funktionen

Plot[{1/x, 10 Sin[1/x] }, {x, -0.5, +0.5}, PlotLegends->"Expressions", AspectRatio -> 1]

weiteres Beispiel für Stetigkeit

f2 [x_]= x^2  Sin[1/x]

Plot[f2[x], {x, -0.01, +0.01}]

Unstetige Funktionen: Heaviside

h[x_] := Piecewise[{{0, x ≤0},{1, x>0}}]

Plot[{h[x]},{x, -1,+1}, PlotLegends->"Expressions"]

Minimum und Maximum

Unstetige Funktion auf [0,2], die kein Maximum besitzt

g[x_] := Piecewise[{{x^2, x < 1},{0, x≥ 1}}]

Plot[{g[x]},{x, 0,+2}, PlotLegends->"Expressions"]