Mathematik II für Informatiker

Sommersemester 2017

Modul INF1020

6: Differentialrechnung

Vorbereitung: die lineare 
Funktion f(x) = c(x-x_0) + d

Plot[{-2(x+2) + 3,4(x-2)+4}, {x, -3, +3}, PlotLegends->"Expressions"]

Anschauung: Tangente an Funktion

Beispiel f(x) = x2, x0 = 2

Plot[{x^2,4(x-2)+4}, {x, -2, +6}, PlotLegends->"Expressions"]

Plot[{Sin[x],Cos[2](x-2)+Sin[2]}, {x, -0.5, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

Ableitungen

f[x_] := Sin[2x] + 3x^7 - 2x^2 + 5x - 13 - 1/x^3

D[f[x],x]

f'[x]

g[x_] := 3 Sin[x^2 + 2] + x^2 -1

x0 = 2.5

Plot[{g[x],g'[x0](x-x0)+g[x0]}, {x, -0.5, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

Funktion g und erste Ableitung g’

Plot[{f[x],f'[x]}, {x, 1, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Plot[{g[x],g'[x]}, {x, -0.5, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

stetige, nicht-differenzierbare Funktionen

Plot[{1.5 - Abs[x], Sin[Abs[x-1]], Piecewise[{{1/2 x^2, x < -0.5},{0.125, x≥ -0.5}}]}, {x, -1.5, +1.5}, PlotLegends->"Expressions"]

Kettenregel

D[(3x^2−x)^5,x]

D[Sin[3x],x]

D[Sin[3x^2 - 2x + 4],x]

Lokales Minimum und Maximum

f’(x0) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für ein lokales Extremum

Plot[{1 - x^2, x^3}, {x, -1, +1}, PlotLegends->"Expressions"]

Höhere Ableitungen

h[x_] := 3x^2 - 4x + 7

Plot[{h[x], h'[x], h''[x], h'''[x]}, {x, -4, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

i[x_] := Sin[x]

Plot[{i[x], i'[x], i''[x], i'''[x]}, {x, -4, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

Lokale Extrema und höhere Ableitungen

j[x_] := x^6 - 3x^5

Plot[{j[x], j'[x], j''[x], j'''[x],j''''[x],j'''''[x]}, {x, -2, +2}, PlotLegends->"Expressions"]

Regeln von d’Hospital

Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Limit[(1-Cos[x])/x^2, x -> 0]

Limit[Log[x]/Sqrt[x], x -> Infinity]

Taylor-Reihe

Approximation durch Taylor-Polynom (Subscript[T, 1]), (Subscript[T, 2]) und (Subscript[T, 3])

Plot[{Sin[x],Cos[2](x-2)+Sin[2], Cos[2](x-2)+Sin[2] - Sin[2](x-2)^2, Cos[2](x-2)+Sin[2] - Sin[2](x-2)^2/2 - Cos[2](x-2)^3/6}, {x, -0.5, +4}, PlotLegends->"Expressions"]

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Beispiel: komplexe Exponentialfunktion

u[x_,y_] := Exp[x]Cos[y]

v[x_,y_] := Exp[x]Sin[y]

D[u[x,y],x]

D[v[x,y],y]

D[u[x,y],y]

D[v[x,y],x]