Lösung der freien 2D-Schrödinger-Gleichung - Interferenzphänomene 

1D-Quantenfeld aus vorausgehendem Beispiele (Gauß-Verteilung) 

psi(x, t) = `/`(`*`(exp(`/`(`*`(`*`(`/`(1, 2), `*`(I)), `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(b, 2), `*`(`^`(p0, 2), `*`(t)))), `*`(2, `*`(m, `*`(`^`(b, 2), `*`(p0, `*`(x))))), `*`(I, `*`(m, `*`(`^`(x, 2), `*`(hbar))))... (1)
 

Parameter für numerische Berechnung  

hbar = 1, m = 1, b = 1, b_t = `*`(b, `*`(`^`(`+`(1, `/`(`*`(I, `*`(hbar, `*`(t))), `*`(m, `*`(`^`(b, 2))))), `/`(1, 2)))) (2)
 

1) 2D-Quantenfeld aus 1D-Quantenfeld 

Da keine Wechselwirkung zwischen den beiden Raumrichtungen x-y besteht, faktorisiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude und das Wirkungsfeld zerfällt in eine Summe: 

psi_xy = `*`(R_xy, `*`(exp(`/`(`*`(I, `*`(S_xy)), `*`(hbar))))) (1.1)
 

mit 

R_xy = `*`(R_x, `*`(R_y)), S_xy = `+`(S_x, S_y) (1.2)
 

und 

psi_xy = `*`(R_x, `*`(R_y, `*`(exp(`/`(`*`(I, `*`(`+`(S_x, S_y))), `*`(hbar)))))) (1.3)
 

also: 

psi_xy = `*`(psi_x, `*`(psi_y)) (1.4)
 

2D-Quantenfeld 

psi2(x, y, t) = `/`(`*`(exp(`/`(`*`(`*`(`/`(1, 2), `*`(I)), `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(b, 2), `*`(`^`(p0x, 2), `*`(t)))), `*`(2, `*`(m, `*`(`^`(b, 2), `*`(p0x, `*`(x))))), `*`(I, `*`(m, `*`(`^`(x, 2), `*`(hb... (1.5)
 

Parameter: 

p0x = 2, p0y = 0 (1.6)
 

dafür 

psi2(x, y, t) = `/`(`*`(exp(`/`(`*`(`*`(`/`(1, 2), `*`(I)), `*`(`+`(`-`(`*`(4, `*`(t))), `*`(4, `*`(x)), `*`(I, `*`(`^`(x, 2)))))), `*`(`+`(1, `*`(I, `*`(t)))))), `*`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*... (1.7)
 

Dichte: 

rho = `*`(`^`(abs(psi2(x, y, t)), 2)) (1.8)
 

also 

rho = `/`(`*`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(4, `*`(`^`(t, 2))), `-`(`*`(4, `*`(t, `*`(x)))), `*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2)))), `*`(`+`(1, `*`(`^`(t, 2))))))))), `*`(Pi, `*`(`+`(1, `*`(`^`(t, 2)))))) (1.9)
 

Höhenlinien der 2D-Dichte für die Parameter 

p0x = 2, p0y = 0 (1.10)
 

Plot_2d Plot_2d Plot_2d
Plot_2d Plot_2d Plot_2d

 

2) Animation des Propagierens und Zerfließens 

Höhenlinien der Wahrscheinlichkeitsdichte rho für p0x=2, p0y=0 

Plot_2d
 

3) 3-D Animation des Propagierens und Zerfließens 

Wahrscheinlichkeitsdichte aus Abschnitt 1) / 2) 

Vector[row](%id = 211493508) (3.1)
 

Plot
 

4) Interferenz 

Interferenz entsteht, wenn sich Teile des Quantenfeldes überlagern. 

Parameter für den ersten Teil 

p0x = 2, y = `+`(y, `-`(2)), p0y = -2 (4.1)
 

Parameter für den ersten Teil 

p0x = 2, y = `+`(y, 2), p0y = 2 (4.2)
 

Quantenfeld als Summe des 2D-Quantenfeldes 

psi = `+`(`/`(`*`(exp(`/`(`*`(`*`(`/`(1, 2), `*`(I)), `*`(`+`(`-`(`*`(4, `*`(t))), `*`(4, `*`(x)), `*`(I, `*`(`^`(x, 2)))))), `*`(`+`(1, `*`(I, `*`(t)))))), `*`(exp(`/`(`*`(`*`(`/`(1, 2), `*`(I)), `*`... (4.3)
 

Dichte 

rho = `*`(`^`(abs(psi), 2)) (4.4)
 

also 

rho = `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(4, `*`(`^`(t, 2))), `-`(`*`(8, `*`(t))), `*`(`^`(y, 2)), 4)), `*`(`+`(1, `*`(`^`(t, 2)))))))), `*`(cos(`+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(`-`(`*`(4...
rho = `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(4, `*`(`^`(t, 2))), `-`(`*`(8, `*`(t))), `*`(`^`(y, 2)), 4)), `*`(`+`(1, `*`(`^`(t, 2)))))))), `*`(cos(`+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(`-`(`*`(4...
rho = `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(4, `*`(`^`(t, 2))), `-`(`*`(8, `*`(t))), `*`(`^`(y, 2)), 4)), `*`(`+`(1, `*`(`^`(t, 2)))))))), `*`(cos(`+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(`-`(`*`(4...
(4.5)
 

Höhenlinien der 2D-Dichte 

Plot_2d Plot_2d Plot_2d
Plot_2d Plot_2d Plot_2d

 

5) Animation der Inteferenz 

2 Teile des Wirkungsquantums bewegen sich aufeinander zu und durchdringen sich. Dabei interferieren sie miteinander. 

Plot_2d
 

6) 3D-Animation der Interferenz 

Wahrscheinlichkeitsdichte aus Abschnitt 4) und 5) 

Vector[row](%id = 143564644) (6.1)
 

Plot