Ebene Kubiken

Das Bild stellt die geometrische Klassifikation der ebenen Kubiken dar, d.h., der möglichen Lösungsmengen einer Gleichung dritten Grades in der komplex-projektiven Ebene. Bei einer Gleichung mit allgemeinen Koeffizienten ist die Lösungsmenge ein Torus, ihre weitergehenden Eigenschaften hängen von einem komplexen Parameter ab, dem Wert der sogenannten j-Funktion. Die Wertemenge der j-Funktion wird durch Hinzunahme eines “unendlich fernen” Punktes zu einer Sphäre vervollständigt. Der unendlich ferne Punkt repräsentiert dabei drei Typen singulärer Kubiken, die sogenannten semistabilen Kubiken — sie sind im Bild über der Sphäre angeordnet. Weiter gibt es noch fünf Typen “instabiler” Kubiken — im Bild findet man sie auf dem Boden liegend. Die Einteilung in stabile, d.h. allgemeine, semistabile und instabile Kubiken entspringt der geometrischen Invariantentheorie — sie liefert allgemeine Ansätze zur Bearbeitung von weitergehenden Klassifikationsproblemen und ist Gegenstand aktueller Forschung am Mathematischen Institut.

Arbeitsbereich Algebra