Verallgemeinertes Sechseck

Bei der abgebildeten Figur handelt es sich um ein verallgemeinertes Polygon (n-Eck), genauer um ein verallgemeinertes Sechseck. Ein gewöhnliches Sechseck, welches sechs Kanten und sechs Ecken besitzt, ist allgemein bekannt: Jede Kante besitzt zwei Ecken und in jeder Ecke treffen sich zwei Kanten. Bei verallgemeinerten Polygonen dürfen sich in einer Ecke mehr als zwei Kanten treffen und eine Kante darf mehr als zwei Ecken besitzen. In der Abbildung beispielsweise treffen sich in jeder Ecke, dargestellt durch die kleinen Kugeln, genau drei Kanten. Die Kanten sind durch die bunten Linien dargestellt. Auf jeder dieser Kanten liegen genau drei Ecken. (Man beachte, dass in dieser Darstellung nicht alle Kanten gerade Linien sind. Beispielsweise sind die gelben und roten Kanten keulenförmig, die grünen und ein Teil der blauen Kanten erinnern an Parabeln. Mathematisch besteht jedoch kein Unterschied zwischen diesen verschiedenfarbigen Kanten.)

Es bleibt zu klären, was diese Figur, die zunächst eher an ein Siebeneck erinnert, zu einem verallgemeinerten Sechseck macht. Wählt man zwei beliebige Kanten aus und wählt auf jeder dieser Kanten eine Ecke, so findet man in dieser Figur stets ein gewöhnliches Sechseck, welches die beiden gewählten Ecken und die beiden gewählten Kanten beinhaltet. Mit anderen Worten, man kann vier zusätzliche Kanten und vier zusätzliche Ecken so auswählen, dass man insgesamt sechs Ecken und sechs Kanten erhält, so dass auf jeder der Kanten zwei der Ecken liegen. Ein solches gewöhnliches Sechseck ist durch die sechs grünen Punkte und die sechs grünen Kurven dargestellt. Insgesamt enthält die Figur 1008 gewöhnliche Sechsecke. Gewöhnliche Drei-, Vier- oder Fünfecke lassen sich in dieser Figur nicht finden. Sehr wohl kann man jedoch gewöhnliche Polygone mit mehr als sechs Ecken finden.

Eine derartige Verallgemeinerung von Polygonen existiert nur in sehr wenigen Fällen. Überhaupt lassen sich nur Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck und Zwölfeck verallgemeinern. Verlangt man gar, dass auf jeder Kante genau drei Ecken liegen und sich in jeder Ecke genau drei Kanten treffen, so lassen sich nur Drei-, Vier- und Sechseck verallgemeinern. Das verallgemeinerte Dreieck heißt Fano-Ebene und das verallgemeinerte Viereck wird oft als Doily Geometrie bezeichnet. Verallgemeinerte Dreiecke sind auch unter dem Namen "Projektive Geometrien" bekannt. Geometrien dieser Art werden in der Fachrichtung Inzidenzgeometrie studiert.